Содержание
1. Элементарная теория погрешностей
1. Предмет вычислительной математики. Математические модели и вычислительные ал-горитмы. Особенности использования вычислительной техники в современных научных иссле-дованиях
2. Абсолютная и относительная погрешности.
3. Погрешности арифметических операций. Погрешность функции. Оценки погрешности.
2. Вычислительные задачи и методы
1. Корректность вычислительной задачи.
2.Обусловленность вычислительной задачи.
3. Устойчивость вычислительного алгоритма.
3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
1. Прямые методы решения систем линейных уравнений. Метод Гаусса и метод прогонки. Норма матрицы. Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравне-ний.
2. Итерационные методы решения систем линейных уравнений. Метод простой итерации. Метод Зейделя. Условия сходимости.
3. Задачи на собственные значения и метод вращения.
4. Приближение функций
1. Интерполяция и приближение. Постановка задачи приближения функций. Интерполя-ционный многочлен Лагранжа. Интерполяционная формула Ньютона.
2. Многочлены Чебышева. Наилучшие приближения в линейном нормированном про-странстве. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье.
3. Интерполяция и приближение сплайнами. Численное дифференцирование. Многомер-ная интерполяция. Сплайн-интерполяция. Приближение кривых и поверхностей.
4. Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов. Равномерное приближение функций.
5. Численное дифференцирование и интегрирование функций
1. Формулы численного дифференцирования.
2. Простейшие квадратурные формулы. Оценка погрешности. Ортогональные многочле-ны и квадратурные формулы Гаусса. Вычисление несобственных интегралов.
6. Численное решение нелинейных уравнений и систем
1. Метод бисекции и простой итерации.
2. Метод Ньютона и метод секущих.
3.Методы, основанные на интерполяции. Проблема локализации корней. Методы реше-ния систем нелинейных уравнений.
7. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем
1. Методы Эйлера и Рунге–Кутты.
2. Жесткие задачи для дифференциальных уравнений.
3. Численное интегрирование краевых задач для обыкновенных дифференциальных урав-нений. Конечно-разностные методы.
8. Численная оптимизация
1. Одномерная оптимизация. Прямые методы поиска минимума унимодальной функции одного переменного. Методы минимизации дифференцируемой функции одного переменного. Методы минимизации неунимодальных функций (методы перебора и ломаных).
2. Многомерная безусловная оптимизация. Прямые методы минимизации. Методы мини-мизации с использованием производных. Метод Ньютона и его модификации. Квазиньютонов-ские методы. Метод Девидсона – Флетчера – Пауэла. Методы сопряженных направлений. Общая стратегия поиска. Метод Флетчера–Ривса (сопряженных градиентов). Критерии окончания. Осо-бенности численной реализации.
3. Оптимизация с ограничениями. Метод множителей Лагранжа. Условия оптимальности Куна–Таккера. Общая задача нелинейного программирования. Выпуклое программирование. Метод штрафных и барьерных функций. Гридиентные методы. Метод Зойтендейка. Методы возможных направлений.
9. Численные методы решения уравнений в частных производных
1. Метод конечных разностей и метод конечных элементов.
2. Аппроксимация, устойчивость и сходимость.
3. Построение разностных схем для краевых задач математической физики. Итерацион-ные методы решения систем линейных уравнений.
4. Метод конечных элементов. Типы конечных элементов. Применение метода конечных элементов. Понятие о методе граничных элементов.